Resistencia de Materiales II: Metodo de Area de Momentos

INTRODUCCIÓN

En el semestre anterior se vio el tema de “Deflexiones”, se demostró matemáticamente con la integración de una ecuación diferencial para encontrar la pendiente y deflexión de un elemento estructural (viga). Utilizamos el momento flector M(x) de la distancia x por toda la viga, formulándonos la ecuación diferencial de la curva elástica:

integrando dos veces que calculamos con las condiciones de borde; así mismo la determinación de la pendiente máxima (ϴ) y flechas (V).

El desarrollo del trabajo constara de propiedades geométricas de la curva elástica y también encontrar la pendiente y las deformaciones de la viga en un punto. Se estudiaran en este caso diagramas que representan la variación de

en la viga y analizaremos áreas definidas entre dos puntos extremos de la viga que es igual al cambio en las pendientes entre esos dos puntos sobre la curva elástica.

Luego la desviación de la tangente en un extremo de la viga sobre la curva elástica con respecto a la tangente prolongada desde el otro extremo será lo mismo el momento del área bajo la curva

entre los puntos Ay B con respecto a un eje A.

Este método es importante porque se encuentra la pendiente y desplazamientos en cualquier punto de la viga basados en diagramas de momentos.

El desarrollo del trabajo se basa en dos teoremas que se aplican en el contenido.

GENERALIDADES

OBJETIVOS

Objetivos generales

Al término del trabajo estaremos en condiciones de:

-Aprender los conceptos básicos en relación del comportamiento físico de los diversos elementos que conforman una estructura.

-Reconocer los diferentes tipos de deformaciones generadas.

-Analizar los diseños en elementos estructurales (vigas).

Objetivos específicos

-Determinar esfuerzos y deformaciones en elementos estructurales a flexión (Vigas).

-Identificar los diversos tipos de cargas.

-Reconocer la parte teórica en hechos cotidianos.

LIMITACIONES

La ecuación está limitada al estudio de dimensiones pequeñas debido a las condiciones del trabajo ya que los resultados sobrepasan de la realidad.

La ecuación es válida para vigas que no estén sometidas a cargas que exceda del límite elástico de sus materiales.

JUSTIFICACIONES

El trabajo que se está desarrollando sobre “El Método de Área de Momentos”, es básico para nuestra formación profesional, de ahí su estudio, es de suma importancia por el aporte de investigación y de análisis del comportamiento de una estructura sometida a deformaciones en estudio para obtener resultados reales, con la finalidad de tomar decisiones en mejoras de la comunidad.

GLOSARIO

: Ángulo tangente en B medido desde la tangente en A, se mide en radianes.

: Momento de primer orden con respecto a A del área bajo la curva de entre A Y B, se denomina flecha.

Momento flector : Se denomina momento flector un momento de fuerza resultante de una distribución de tensiones sobre una sección transversal es perpendicular al eje longitudinal a lo largo del que se produce la flexión.

Diagrama de momento flector : Para elementos lineales el momento flector Mf(x) se define como una función a lo largo del eje transversal del mismo, donde "x" representa la longitud a lo largo del eje. El momento flector así definido, dadas las condiciones de equilibrio, coincide con la resultante de fuerzas de todas las fuerzas situadas a uno de los dos lados de la sección en equilibrio en la que pretendemos calcular el momento flector. Debido a que un elemento puede estar sujeto a varias fuerzas, cargas distribuidas y momentos, el diagrama de momento flector varía a lo largo del mismo.

Giro (θ) : Al trazar rectas tangentes a la curva elástica estas forman con la horizontal ángulos muy pequeños, estos ángulos son los ángulos de giro de la curva elástica.

MÉTODO DE ÁREA DE MOMENTOS

De “La Ecuación General De Flexión” tenemos:

Integrando:

Tengamos presente que

curvatura de un elemento viga.

TEOREMA I

“El ángulo o cambio de pendiente comprendido entre las tangentes de dos puntos cualesquiera de una línea elástica continua es igual al área total correspondiente del diagrama de momentos, dividida por EI”.

TEOREMA II

“La ordenada B respecto a la tangente en A es igual al momento estático, con respecto a B, del área del diagrama de momentos flectores comprendida entre A y B, dividida por EI”.

Si existe un punto de inflexión en la línea elástica entre A y B:

Pasos A Realizar:

1.Encontrar el diagrama de momentos.

Dividir M por EI y trazar la curva elástica tentativa.

Para encontrar ϴ fijar un punto inicial al cual se le conozca la pendiente e integrar el diagrama de curvatura entre el punto inicial de referencia y el punto pedido.
Cambio en ϴ = área bajo M/EI
Para encontrar flechas, tomar un punto inicial al que se le conozca su flecha, preferiblemente un apoyo.
El cambio de la flecha se calcula como el primer momento del área bajo el diagrama de M/EI con respecto al punto sobre el que se va a encontrar la deflexión. ( *Área bajo la curva de M/EI midiendo desde el punto al que se le va a hallar la deflexión).
Signos, un cambio de pendiente positivo osea áreas positivas de M/EI indican qque la pendiente crece.

Convención De Signos

La desviación tangencial, en un punto cualesquiera es positivo si el punto queda por encima de la tangente respecto de la cual se toma esta desviación negativa se queda por debajo de dicha tangente.

La pendiente, un valor positivo en la variación de la pendiente ϴ B/A indica que la tangente en el punto situado a la derecha, B, se tiene girando en sentido anti horario la tangente trazada en el punto más a la izquierda es decir que para pasar la tangente en A la tangente en B se gira en sentido anti horario y viceversa para valores negativos.

Concavidad Y Convexidad De Deformada Y Su Relación Con El Diagrama De Momentos:

Si el diagrama de momentos es (+) en el tramo analizado, la deformada entonces será cóncava.

Si el diagrama de momentos es (-) en el tramo analizado, la deformada entonces será convexa.

Diagrama de momentos flectores por partes

En muchas aplicaciones se simplifica el cálculo de ángulos y la desviación tangencial, si el efecto de cada carga se evalúa separadamente. Se dibuja un diagrama M/EI para cada carga y se obtiene el ángulo sumando algebraicamente las áreas bajo los diferentes diagramas.
La desviación tangencial se obtiene añadiendo los momentos del primer orden de estas áreas, con respecto al eje vertical que pasa por el punto.
El diagrama de momento Flector o de M/EI obtenidos de estas maneras se denomina trazado por partes.Las áreas y los centroides de formas comunes:

EJEMPLOS

E-1. Determinar la pendiente y la deflexión del extremo B de la viga cargada en voladizo AB, sabiendo que la rigidez a la flexión de la viga es EI = 10 MN-m2 .

Solución:
Reemplazamos la carga dada por las dos cargas equivalentes mostradas en la fig. y dibujamos los diagramas de los momentos flectores y de M/EI correspondiente de derecha a izquierda por el extremo libre B.